Как гипотеза может быть одновременно истинной и ложной?

Георг Кантор (Georg Cantor) погиб в 1918 году в санатории в германского города Галле. Данный выдающийся математик заложил фундамент теории множеств в 1870-х годах. В свое время его идеи были враждебно встречены сотрудниками в Европе, а главным оппонентом стал Леопольд Кронекер (Leopold Kronecker), преподаватель Кантора.

На протяжении одного из приступов депрессии бедный Георг написал 52 письма шведскому математику по имени Геста Миттаг-Леффлер (Gosta Mittag-Leffler), в каждом из которых упоминается Кронекер.

Но не только отношение современников толкало Кантора к депрессии. Неразрешимой проблемой для него стала неспособность доказать истинность континуум-догадки (Continuum Hypothesis). В одной из формулировок она звучит так: «Всякое нескончаемое подмножество континуума R равномощно или множеству натуральных чисел, или R». Кантор был уверенный в том, что она есть подлинной, но одного его убеждения было не хватает.

Но как выяснилось, выдающийся математик напрасно винил себя.

  • 10 000 человек против «самой умной дамы на Земле»

Истина либо неправда?

В первой половине 40-ых годов двадцатого века Курт Гедель (Kurt Godel) доказал, что отрицание континуум-догадки недоказуемо, а в первой половине 60-ых годов двадцатого века Поль Коэн (Paul Cohen) продемонстрировал общественности, что сама континуум-догадка кроме этого недоказуема.Как гипотеза может быть одновременно истинной и ложной?

Но как же это вероятно? Истинность догадки недоказуема, но одновременно с этим недоказуемо и ее отрицание? Подробный ответ займет ни одну страницу, но возможно попытаться разобраться в этом парадоксе и без научных трактатов.

Континуум-догадка связана с понимаем размеров бесконечности. Но перед тем как сказать о размерах бесконечности, отыщем в памяти, как мы сопоставляем простые числа. Представим маленькое стадо коз в лесу. К примеру, сейчас пасутся шесть коз и на лужайке растут шесть деревьев. В случае если мы привяжем каждое животное к дереву, то они все будут в паре с деревом.

Мы замечаем взаимно-однозначное математическое соответствие. Но в случае если на лугу окажутся шесть коз и восемь деревьев, то мы никак не сможем установить подобное соответствие, какие конкретно бы варианты мы не пробовали: все равно останутся «деревья без животных».

Соответствие между множествами

Соответствия употребляются для сравнения размеров намного больших, чем 6 коз, комплектов чисел, в том чисел и для нескончаемых множеств. Правило звучит так: в случае если возможно установить некое соответствие между двумя множествами, то их размер однообразен. И наоборот: в случае если соответствия нет, то одно из множеств должно быть больше. К примеру, совокупность всех натуральных чисел {1,2,3,4,…} содержит все числа, кратные пяти {5,10,15,20,…}.

На первый взгляд думается, что комплект натуральных чисел больше, чем комплект чисел, кратных пяти. Но в действительности они равны по размеру: каждое натуральное число возможно в паре с кратным числом и наряду с этим у нас не останется «свободных электронов», другими словами непарных чисел. В таком соответствии, 1 будет идти вместе с 5, 2 — вместе с 10 и т.д.

В случае если повторять это упражнение для сравнения настоящих чисел (к ним относятся целые числа, дроби, иррациональные числа и десятичные дроби) с натуральными числами, то мы заключим, что совокупность первых больше. Иначе говоря возможно доказать, что не удается установить соответствие между этими двумя множествами.

Континуум-догадка говорит, что нет нескончаемого комплекта настоящих чисел больше, чем совокупость натуральных чисел, но меньше, чем совокупность всех настоящих чисел. Кантор был уверенный в правдивости догадки, но никак не имел возможности ее доказать.

  • Кто изобрел понятие о статистической регрессии?

Логика в помощь
Чтобы выяснить проблему, разглядим, из чего состоит математическое подтверждение. Математические выводы должны быть доказаны при помощи теорем и логики.

Теоремы — это утверждения о примитивных математических концепциях, каковые являются подлинными кроме того на интуитивном уровне. Другими словами никто ни при каких обстоятельствах не ставит под сомнение их обоснованность. Пример теоремы: для любого натурального числа (которое есть несложным понятием в математике) существует большее натуральное число.

Это самоочевидно, и мы не ставим данное утверждение под сомнение.

Теоремы — это утверждения о примитивных математических концепциях, каковые являются подлинными на интуитивном уровне

Твитнуть цитату

Логика употребляется для построения более сложных выводов из теорем. Так, мы можем создать модели, каковые будут являться математическими структурами и удовлетворять условиям теорем. Критически принципиально важно тут то, любое утверждение теоремы, доказанное посредством логики, при переносе в любую другую модель будет подлинным, что делает подлинной и теорему.

Примечательный факт: все главные математические выводы смогут быть обоснованы посредством теорем, касающихся примитивного понятия о совокупности (в большинстве случаев именуемым «множеством» в математике, а особый раздел носит название «теория множеств»). Иными словами, возможно обосновывать математические утверждения, сперва трактуя высказывание на языке множеств (а это возможно сделать неизменно), а после этого используя логику для теорем множеств.

  • Как показалось понятие о среднем значении?

Подтверждение континуум-догадки

Курт Гедель обрисовал модель, которая удовлетворяет теоремам теории множеств, но не допускает нескончаемое множество, чей размер варьируется в диапазоне натуральных и настоящих чисел. Это помешало догадке континуума быть опровергнутой. Любопытно, что пара лет спустя Пол Коэн отыскал еще одну модель теории множеств, которая кроме этого соответствует теоремам данной теории, что помешало континуум-догадке быть доказанной.

Несложнее говоря, для доказательства догадки континуума она должна быть подлинна во всех моделях теории множеств, но это не верно. Отправимся от противного: дабы догадка была опровергнута, она обязана оставаться недействительной во всех моделях теории множеств, но и тут нас ожидает отрицательный ответ! Так континуум-догадка выясняется неразрешимым утверждением.

Нельзя исключать, что новые теоремы, пока еще малоизвестные математической логике, продемонстрируют нам, подлинна либо фальшива эта догадка.

Парадокс ее-неопределённость и континуум гипотезы в научном мире — это неповторимое и серьёзное явление, которое открывает нам глубинные структуры математики. Эта догадка ставит важные вопросы, касающиеся философии аксиоматического метода и науки. В этом случае математика возможно не разумным методом и самым прямым для описания отечественной Вселенной.

И в полной мере конечно задаться вопросом, есть ли фактор неопределенности, характерный для данного математического феномена, определяющим для раскрытия некоторых функций Вселенной? Можем ли мы применить эту догадку к фундаментальным законам мироздания?

Возможно пойти в собственных мыслях дальше и задаться вопросом: существуют ли Вселенные, где математические факты отображаются по-различному? , пока догадка континуума не доказана и не опровергнута, имеется большой соблазн ответить на все эти вопросы утвердительно.

Высоких вам конверсий!

По данным: nautil.us/blogimage source Jorge_Soriano

Случайные статьи:

Самые шокирующие гипотезы. \


Подборка похожих статей:

admin