Как оптимальнеенарезать торт? Если вы не опытный свадебный планировщик, то точно не довольно часто думали над таким вопросом. Вы имеете возможность поразмыслить, что ответ достаточно несложен. Необходимо количество гостей, сидящих за столом, и поделить десерт на однообразные куски.
аллергии и Всевозможные диеты на глютен смогут усложнить ваши вычисления, но в конечном итоге данный процесс вряд ли покажется сложным математическим действием.
Однако, как бы парадоксально это ни звучало, речь заходит как раз о высшей математике, и вы определенно забыли задать себе пара ответственных вопросов.
К примеру, гарантирует ли ваш метод нарезки торта, что никто не оставит вечеринку, почувствовав себя обделенным? Предприняли ли вы какие-то шаги, чтобы убедиться в том, что любой визитёр будет в равной степени удовлетворен своим раздельно забранным ломтиком?
Как видите, на данный момент мы говорим не просто о торте. В контексте решения проблемы «честного распределения», затрагивающей математику, экономику и политологию, торт представляет собой что-то большее, чем обычный десерт. Торт — это многоэтажный дом с квартирами, каковые направляться поделить между придирчивыми жильцами. Торт — это разводс высокими отступными.
Торт — это охваченная гражданской войной страна.
Начиная с XVII века, теоретики занимаются разработкой способов, каковые бы разрешали дробить нужные нам вещи в соответствии с твёрдым формализмом математики и отечественными субъективными представлениями о справедливости. Все это время торт употреблялся в качестве замечательной метафоры для всего полезного, исчерпаемого и делимого в нашем мире.
И сейчас, с учетом последних достижений в области теории честного распределения (fair division theory) и информатики, все больше исследователей желают сделать эти способы дешёвыми для неосведомленной общественности. Дабы всего одним нажатием кнопки вы имели возможность бы порезать торт как настоящий математик.
Просматривайте кроме этого: Ментальные модели: умный подход к ответу непростых задач
Принцип честного деления
Детям уже давно известен лучший метод поделить объект на две части. Данный способ именуется «Я разделяю, ты выбираешь», и вы точно применяли данный метод честного деления в далеком детстве. Гениальность данного подхода содержится не только в том, что он достаточно несложен для применения, но и в том, что при определенных событиях он дает объективные результаты.
Человек, использующий его, знает, что второй выберет себе лучший кусок, исходя из этого старается разрезать торт (бутерброд либо что-либо еще) максимально справедливо. Так, обе стороны гарантированно приобретают порции, каковые, согласно их точке зрения, являются приблизительно однообразными.
математики и Экономисты нарекли данный способ «свободным от зависти» и таким определением они попали совершенно верно в цель. В случае если у вас имеется ванильный торт, и вам необходимо поделить его между двумя людьми, любой из которых одинаково обожает сладкое, то, дабы никто не начал питать зависть к, торт необходимо поделить пополам. Оба возьмут равный кусок торта, и никаких математических талантов для для того чтобы разделения не требуется.
Способ «Я разделяю, ты выбираешь» трудится не только для материальных вещей (арахисовое масло и торты). Как продемонстрировал известный писатель Мартин Гарднер во второй половине 70-ых годов двадцатого века, домашние обязанности кроме этого возможно распределить, в случае если один человек дробит каждую задачу на две части, а второй выбирает одну из них.
Данный способ кроме этого употребляется юристами. При заключении контрактов на совместную собственность, юристы довольно часто прибегают к финансовому аналогу принципа «Я разделяю, ты выбираешь». В то время, когда люди при разводе дробят собственность, один партнер именует цену, а второй решает, желает ли он её выкупить либо реализовать.
Как пишет Джеймс Ф. Ринг, «инициирующая сторона ставит собственного соперника в положение, в то время, когда самая разумная стратегия для него содержится в том, дабы честно оценить собственность и закончить спор».
Ринг убедился в этом на своем опыте. Являясь учредителем Fair Outcomes, компании, специализирующейся на оказании помощи людям при разводах, Стивен и Ринг Брамс нашли множество применений способа «Я разделяю, ты выбираешь».
В обзоре способов честного разделения, размещённых на сайте nautil.us, научный автор Эрика Кларрайх приводит один интересный пример. При спора при расторжении брака либо взаимоотношений, метод, что Ринг и Брамс именуют «Честная приобретение-продажа», предполагает, что любой партнер в один момент именует собственную цену.
«В случае если Джон предложит 110 000 американских долларов, а Джейн предложит 100 000 американских долларов, тогда Джон, предложивший более большую цену может выкупить вещь у Джейн за 105 000 долларов», — растолковывает Ринг. «Любой участник в следствии приобретает что-то — деньги либо вещь — по цене, которая лучше, чем его предложение».
Данный способ отыскал место кроме того в интернациональном морском праве. В 1970-х годах, в то время, когда страны подготовились к будущему, в котором подводная добыча ископаемых станет большой отраслью, страны третьего мира были обеспокоены тем, что технологически более развитые корпорации купят права на разработку самые ценных морских участков.
Ответ было предложено и ратифицировано в Конвенции по морскому праву. Сейчас, в случае если компания желает добывать ресурсы с дна моря, она обязана сперва поделить участок на две части. По окончании чего менее развитая сторона выбирает один из них.
Просматривайте кроме этого: 14 примеров поразительно действенных ценностных предложений
«Свобода от зависти»
Но, как может сообщить любой ученик начальной школы, существуют такие конфликты, совладать с которыми не в состоянии кроме того метод «Я разделяю, ты выбираешь».
Возвращаясь к кулинарной метафоре, представьте себе, что разглядываемый торт не несложный ванильный (допустим, на протяжении левого края были размещены пара кусочков клубники), и что голодные гости за столом имеют различные предпочтения (возможно, один человек предпочитает фрукты, а второй обожает выпечку).
В случае если пирог будет дробить любитель клубники, он может поделить его на две половины, покинув равное количество клубники на каждой. Так он возьмёт собственную долю фруктов независимо от выбора другого человека. Потому, что любитель выпечки планирует выбросить собственную клубнику, для него также не имеет значения, какую половину выбрать.
В следствии никто не будет питать зависть к.
Но однако имеется кое-что неудовлетворительное в подобном финале. В частности, экономисты назвали бы результат «неэффективным», по причине того, что торт возможно было разрезать так, дабы сделать по крайней мере одного из участников радостнее, не причинив никому вреда. В приведённом примере возможно было сделать так: любитель ягоды имел возможность поменять часть собственного пирога на клубнику.
Всем было бы лучше.
Значит, разделение было неправильным? Так как лучше, если бы он покинул себе больше клубники?
Предположим другую обстановку. Любитель клубники меньшую покрытую ягодами половину. Так, он гарантированно возьмёт или меньший кусок с громадным числом ягоды (что было бы прекрасно, по причине того, что он обожает клубнику), или больший кусочек без ягод (что также хорошо, по причине того, что, не обращая внимания на отсутствие ягод, он все же приобретает больше пирога).
В этом случае выбор для его приятеля очевиден. Он выберет солидную часть торта.
Сейчас итог возможно назвать действенным, по причине того, что кусочки торта не было возможности бы поменять, не сделав хотя бы одну из сторон неудовлетворенной. Более того, в следствии никто никому не питает зависть к. Ни у одной из сторон нет обстоятельств желать поменять собственный кусок.
В теории нет обстоятельств для зависти.
И однако, сложность людской психологии запутывает математическую выстроенную модель людской поведения. Вышеприведенное ответ теоретически может иметь последствия, противоречащие отечественному эмоции справедливости. Поклонник клубники в любом случае не проиграет (он приобретает кусочек, что, согласно его точке зрения, образовывает 50% от цены торта), тогда как любитель торта приобретает солидную часть торта, другими словами побеждает в сделке.
Просматривайте кроме этого: Из-за чего вам лучше прекратить применять круговые диаграммы (либо нет)?
Как поделить торт между тремя и более людьми
Десятилетиями теоретики тщетно пробовали отыскать честное решение проблемы деления. Так как приглашение к столу дополнительных претендентов на торт вводит еще громадную сложность.
В 1940-х годах польский доктор наук Хьюго Штайнхаус подошел к этому вопросу с математической строгостью. Спросив себя, существует ли вариант способа «Я разделяю, ты выбираешь» для трех либо более человек, он в конечном счете придумал то, что сейчас именуется «способом одинокого разделителя».
Проиллюстрируем его сущность на примере. Представьте себе трех потенциальных клиентов торта. Один из них выбирается наугад.
Он делается «одиноким разделителем», и его просят поделить торт на три части. Как и при с «Я разделяю, ты выбираешь», он не знает, какой кусочек ему суждено взять, и исходя из этого пробует поделить торт на три одинаково желаемых ломтика.
Остальным двум участникам, выборщикам, предлагается записать, какие конкретно из кусочков они бы желали. После этого перечни сравниваются. Если они желают различные кусочки, то игра окончена: любой из них приобретает то, что желал, а первый разделитель приобретает третий кусок.
В случае если же выборщики желают один кусок, то разделителю дается одна из двух не востребованных частей, а два оставшихся куска соединяются. Сейчас у нас имеется один мелкий торт, два голодных соперника и способ «Я разделяю, ты выбираешь», что и примет решение их проблему.
Способ Штайнхауса привлекательно несложен и возможно расширен до более чем трех человек, но он не гарантирует результатов, в которых не было бы зависти. Для этого требуется более сложная математика.
Торт из треугольников
Фрэнсис Су стал доктором по математике в Гарварде в конце 1990-х, в то время, когда Брэд Манн, его кандидат и друг в докторанты, пришел к нему со своей проблемой.
Как и большая часть студентов недалеко от Кембриджа, Манн снимал тесный домик с несколькими привычными. Конечно, их мнения расходились в том, кто обязан взять помещение громадных размеров. Манн пришел к Су с вопросом, как выйти из тупика.
Тогда как большая часть из нас предложило бы кинуть жребий, Су, что сейчас есть доктором наук в колледже Харви Мадд и Президентом Математической ассоциации Америки, внес предложение уникальное ответ.
«В то время, когда он поведал мне о собственном затруднительном положении, я сообщил:«Это математический вопрос!», — говорит Су. В частности, это был вопрос честного разделения.
Быть может, ответ Су было не весьма полезным для Манна, но спустя пара лет Су разместил статью на эту тему, в которой он смог доказать, что в доме, поделённом в соответствии с его способом, арендная плата и комнаты смогут быть поделены так, дабы никого не обидеть.
Статью Су новаторской сделало то, что он применял сложный математический довод 1920-х годов, названный «леммой Спернера». Изначально лемма не имела ничего общего с арендой либо тортами. Она относилась к треугольникам.
Представим себе, что у вас имеется громадный треугольник, как на рисунке выше. Каждую из вершин треугольника обозначим числами (в этом случае 1, 2 и 3). Треугольник после этого разделяется на последовательность меньших треугольников, и их вершинам кроме этого присваиваются числа.
Но тут имеется сложность. Каждая вершина на протяжении края большего треугольника обязана делиться своим числом с одной из двух точек в конце этого края. К примеру, в нижней части треугольника смогут быть лишь 1 и 2, по причине того, что они расположены между двумя точками большего треугольника, каковые обозначены 1 и 2. Подобно, левая сторона треугольника может иметь лишь метки 1 и 3, тогда как правая сторона приобретает лишь 2 и 3.
В соответствии с «лемме» (мини-теореме), в случае если все приведенные выше условия верны, то во всей сетке перекрещивающихся вершин должен быть хотя бы один треугольник, что имеет различные числа в каждой из трех его точек. На рисунке выше таковых три.
Какое это имеет отношение к ренте? В нахождении данной связи и заключалось прозрение Су.
В статье треугольник переосмысливается как все вероятные комбинации цен на помещения, поделённые между тремя помещениями. К примеру, точка в верхней части треугольника может воображать собой обстановку, в то время, когда один из соседей оплачивает всю аренду в помещении А, а остальные не платят ничего за оставшиеся две помещения В и С. Подобно, точка в левом углу громадного треугольника будет воображать собой обстановку, в то время, когда обитатель помещения B отдает всю арендную плату. Перемещение в центр треугольника соответствует более честным распределениям ренты между тремя помещениями.
Су назначил каждого из обитателей дома «обладателем» вершины (ценовой комбинации).
Математический метод решения проблемы Су начинается с вершины за пределами треугольника с вопроса: «Если бы ренту необходимо было поделить в соответствии с данной ценовой схемой, в какой комнате ты бы жил?» В зависимости от ответа, этому пункту будет дано число (1, 2 либо 3). После этого метод может «переместиться» на новую комбинацию «комната и цена», расположенную глубже в треугольника, где тот же вопрос будет задан второму жильцу.
Процедура не будет прекращаться до тех пор, пока не будет отыскана схема ценообразования, в которой любой обитатель согласится жить в различных помещениях при определенных стоимостях. Графически данный пункт будет существовать в треугольнике, в котором вершины были бы помечены различными цифрами. Не забывайте, что в соответствии с лемме Спернера таковой треугольник обязан существовать.Так, гармония вероятна.
Мысль Су стала настоящим открытием. В 2014 году New York Times кроме того сделал калькулятор арендной платы, применяя метод Су.
Просматривайте кроме этого: Как показалось понятие о среднем значении?
«Метода справедливости» не существует
Метод Фрэнсиса Су не есть единственным методом решить разглядываемые неприятности.
В том же году группа исследователей в Школе информатики Карнеги запустила Spliddit. Метод Су есть итеративным, требующим ввода повторных данных от каждого участника, и предлагает лишь «свободные от зависти» ответа . А калькулятор аренды Spliddit, что отличается удобством, выдает решения, каковые только «доказуемо честны».
Не смотря на то, что первая версия данного калькулятора подражала методу Су, созданному в 2004 году, результаты, каковые он создавал, не смотря на то, что и были свободными от зависти в математическом смысле, не всегда удовлетворяли людей на практике.
«Время от времени у вас имеется решения, каковые удовлетворяют некоей теоретической модели справедливости, но на практике честным вы интуитивно вычисляете второй расклад», — говорит начальник проекта Ариэль Прокачча.
Он предлагает следующий пример. Представьте себе трехкомнатную квартиру, поделённую между тремя соседями. Арендная плата образовывает 3 американского доллара. Первый обитатель заинтересован лишь в том, дабы жить в первой комнате, второй интересуется лишь второй, а их сосед — третьей.
Любой человек согласен заплатить 3 американского доллара за собственную помещение.
Одно из вероятных ответов заключалось бы в том, дабы поместить каждого человека в помещение по его выбору и назначить всю сумму арендной платы первому жильцу. Второй и третий жильцы тогда заключат значительно более хорошую сделку, но у первого соседа по дому нет обстоятельств возражать. Он платит 3 американского доллара — ровно столько, сколько он и желал, поскольку у него нет жажды жить в другом месте дома.
«Это решение не должно привести к на уровне теории, но, разумеется, оно несправедливо», — говорит Прокачча. «Справедливо каждому поселиться в помещении, в которой он желает жить, и платить 1 американский доллар».
Как раз для того чтобы результата и пробует достигнуть метод Spliddit. Во-первых, он пробует максимизировать отличие в это же время, сколько обитатель готов заплатить за помещение, и тем, сколько он в конечном итоге платит. Данный «излишек» показывает, как хороша сделка для каждого жильца, и метод гарантирует, что у каждого жильца в желаемой им комнате он будет выше, чем тот излишек, что у него был бы в второй комнате.
Это удовлетворяет условию отсутствия зависти.
Но после этого, пробуя отыскать «интуитивно честное» ответ, калькулятор находит комбинацию помещений, каковые минимизируют отличие в излишках каждого жильца.
Другими словами, метод гарантирует, что любой обитатель заключает хорошую сделку, которая не может быть выгоднее если сравнивать с соседями.
С возникновением Spliddit поменялся метод расчета тарифов на такси, кредитования, методики разделения задач. Одной из обстоятельств создания Spliddit было ознакомление широкой общественности с преимуществами математических способов решения проблем, связанных со честным разделением. Совершенно верно так же, как способ «Я разделяю, ты выбираешь», его метод употребляется для урегулирования деловых распрей.
Создатель Spliddit сохраняет надежду, что когда-нибудь компьютеры смогут обнаружить решения в значительно более непростых проблемах.
Высоких вам конверсий!
По данным: priceonomics.com
Случайные статьи:
Как правильно нарезать торт 3
Подборка похожих статей:
-
Гений математики, создавший автотюн
Автотюн — пожалуй, одно из самых ненавидимых изобретений современности — был создан гением математики Энди Хильдебрандом (Andy Hildebrand). Увы, не все…
-
История изобретения нарезанного хлеба
Уже практически 3000 лет люди едят хлеб. И не просто едят — продолжительное время он являлся жемчужиной рациона. К началу XX века хлеб составлял…
-
Шаблоны по бизнес-нишам: торты на заказ
Сейчас будет разобрана достаточно занимательная и необыкновенная сфера бизнеса — изготовление тортов на заказ. Эта услуга популярна на свадьбах, прочих…
-
Как-то раз американский блоггер и создатель данной статьи Тим Урбан (Tim Urban) решил посетить пара необычных, согласно его точке зрения, мест, и…